Решение систем линейных уравнений с помощью Numpy в Python

Библиотеку Numpy можно использовать для выполнения множества математических и научных операций, таких как скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и т.д.

Что такое система линейных уравнений?

Википедия определяет систему линейных уравнений как:

В математике система линейных уравнений (или линейная система) – это набор двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными x и y:

Уравнение 1:

4x  + 3y = 20
-5x + 9y = 26

Чтобы решить указанную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y. Есть несколько способов решить такую систему, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение.

В матричном решении решаемая система линейных уравнений представлена в виде матрицы AX = B. Например, мы можем представить уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

A = [[ 4   3]
     [-5   9]]

X = [[x]
     [y]]

B = [[20]
     [26]]

Чтобы найти значение переменных x и y в уравнении 1, нам нужно найти значения в матрице X. Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B, как показано ниже:

X = inverse(A).B

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу.

Решение

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: обращение и скалярное произведение матрицы. Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip:

$ pip install numpy

Давайте теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv() и dot()

Сначала мы найдем матрицу, обратную матрице A, которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A на Python. Для создания матрицы можно использовать метод массива модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list, который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9]. Эти списки представляют собой две строки в матрице A. Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу массива, как показано ниже:

import numpy as np

m_list = [[4, 3], [-5, 9]]
A = np.array(m_list)

Чтобы найти обратную матрицу, которая передается методу linalg.inv() модуля Numpy:

inv_A = np.linalg.inv(A)

print(inv_A)

Следующим шагом является нахождение скалярного произведения между матрицей, обратной матрицей A и B. Важно отметить, что матричное скалярное произведение возможно только между матрицами, если их внутренние размеры равны, т.е. количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Чтобы найти точечный продукт с помощью библиотеки Numpy, используется функция linalg.dot(). Следующий скрипт находит скалярное произведение между обратной матрицей A и B, которая является решением уравнения 1.

B = np.array([20, 26])
X = np.linalg.inv(A).dot(B)

print(X)

Вывод:

[2. 4.]

Здесь 2 и 4 – соответствующие значения для неизвестных x и y в уравнении 1. Чтобы убедиться, что если вы подставите 2 вместо неизвестного x и 4 вместо неизвестного y в уравнении 4x + 3y, вы увидите что результат будет 20.

Давайте теперь решим систему трех линейных уравнений, как показано ниже:

4x + 3y + 2z = 25
-2x + 2y + 3z = -10
3x -5y + 2z = -4

Вышеупомянутое уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

Уравнение 2:

A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.array([25, -10, -4])
X = np.linalg.inv(A).dot(B)

print(X)

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() связаны вместе. Переменная X содержит решение уравнения 2 и печатается следующим образом:

[ 5.  3. -2.]

Значения неизвестных x, y и z равны 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подставить эти значения в уравнение 2 и проверить их правильность.

resolve()

В двух предыдущих примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для поиска решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.solve(), который можно использовать для непосредственного поиска решения системы линейных уравнений:

A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.array([25, -10, -4])
X2 = np.linalg.solve(A,B)

print(X2)

Вывод:

[ 5.  3. -2.]

Вы можете видеть, что результат такой же, как и раньше.

Пример

Давайте посмотрим, как систему линейных уравнений можно использовать для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эту задачу легко решить с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x, а цена апельсина – y. Вышеупомянутую проблему можно преобразовать так:

20x + 10y = 350
17x + 22y = 500

Решение для указанной выше системы уравнений показано здесь:

A = np.array([[20, 10], [17, 22]])
B = np.array([350, 500])
X = np.linalg.solve(A,B)

print(X)

И вот результат:

[10. 15.]

Выходные данные показывают, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина – 15 долларов.